Самообразование
Главная > Математика > Подготовка к ЕГЭ по теории вероятностей

Примеры решения задач повышенной сложности по теории вероятностей

Задача 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что «орел» выпадет ровно три раза.

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой Бернулли. В качестве события  выберем выпадение «орла» при однократном бросании монетки. Вероятность данного события в одном эксперименте равна . Общее число экспериментов , число появлений «орла» в экспериментах (не важно в каком порядке) равно . Подставляем указанные значения в формулу, получаем

Ответ: 0,25.

Задача 2. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Белые» по очереди играет с командами «Красные», «Синие» и «Зеленые». Найдите вероятность того, что ровно в двух матчах из трех право владеть мячом получит команда «Белые».

Решение.

Для решения данной задачи выделим событие  – команда «Белые» имеет право владеть мячом. Нам важно найти вероятность возникновения события  ровно 2 раза в 3 экспериментах (не важно в каком порядке). Воспользуемся формулой Бернулли. В нашем случае , , а вероятность появления события  в одном эксперименте, равна , так как при встрече играет по 2 команды и каждая случайным образом может владеть мячом. Итоговая вероятность равна

Ответ: .

Задача 3. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем – 0,9. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,96?

Решение.

1-й способ. Для решения данной задачи вычислим сначала вероятность обратного события, т.е. найдем вероятность промаха при первом выстреле, при двух выстрелах, при трех выстрелах и т.д. Вероятность промаха при первом выстреле равна

при двух

при трех

и т.д.

Зная вероятность не попадания в цель при заданном числе выстрелов , можно легко вычислить вероятность поражения цели как , где  – число выстрелов.

Найдем число выстрелов, при котором вероятность попадания не менее 0,96, получим:

– при одном выстреле

– при двух выстрелах

– при трех выстрелах

Следовательно, необходимо 3 выстрела.

2-й способ. Вероятность не поражения после  выстрелов равна , так как при первом выстреле вероятность промаха , а при каждом последующем . По условию необходимо, чтобы , следовательно,

,

,

,

,

откуда .

Ответ: 3 выстрела.

Задача 4. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.

Составим таблицу вероятностей для погоды в Волшебной стране.

 

11 марта

12 марта

13 марта

14 марта

хорошая

1

 

 

 

отличная

0

 

 

 

Погода 12 марта с вероятностью 0,9 останется хорошей, а с вероятностью 1-0,9=0,1 станет отличной. Занесем эти данные в таблицу.

 

11 марта

12 марта

13 марта

14 марта

хорошая

1

0,9

 

 

отличная

0

0,1

 

 

Хорошая погода 13 марта может быть в двух случаях.

1) Погода 12 марта была хорошей и не изменилась. Вероятность этого события равна .

2) Погода 12 марта была отличной и изменилась. Вероятность этого события равна .

Таким образом, вероятность хорошей погоды 13 марта равна . Вероятность отличной погоды 13 марта равна . Заносим эти данные в таблицу.

 

11 марта

12 марта

13 марта

14 марта

хорошая

1

0,9

0,82

 

отличная

0

0,1

0,18

 

Отличная погода 14 марта может быть в двух случаях.

1) Погода 13 марта была хорошей и изменилась. Вероятность этого события равна .

2) Погода 13 марта была отличной и не изменилась. Вероятность этого события равна .

Таким образом, вероятность отличной погоды 14 марта равна .

Ответ: 0,244.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.
Темы раздела