Самообразование
Главная > Математика > Подготовка к ЕГЭ по теории вероятностей

Примеры решения задачи на зависимые события. Теория вероятностей

Задача 1. В урне 10 шаров, из них 4 черных шара и 6 белых. Наугад из урны выбирают два шара последовательно друг за другом. Выбранные шары обратно в урну не кладутся. Найдите вероятность того, что из урны сначала был вынут белый, а затем черный шар.

Решение.

Рассмотрим два события:

: из урны вынут белый шар;

: из урны вынут черный шар.

Решение задачи будет вычисление вероятности произведения двух событий . Так как сначала из урны вынимается первый шар (не кладется обратно), а затем второй, то события  и  зависимы между собой. Следовательно, вероятность события  будет определяться формулой

.

Вероятность события  равна . Предположим, что первым был вынут белый шар, т.е. событие  произошло. Тогда вероятность события  изменится и будет равна  (так как в урне на один белый шар стало меньше). Искомая вероятность события  равна

.

Ответ: .

Задача 2. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.

1-й способ. Из условия задачи можно заметить, что события  «кофе закончился в первом автомате» и  «кофе закончился во втором автомате» зависимые, т.к. вероятности их произведений . Обозначим через  событие «кофе остался в первом автомате», а через  «кофе остался во втором автомате». Очевидно, что . Событие «кофе остался хотя бы в одном автомате» - это событие , вероятность которого равна

.

Так как события  и  противоположны событиям  и , то и вероятность . Подставляя полученные значения в формулу суммы вероятности событий  и , имеем

.

2-й способ. Обозначим через  событие «кофе закончился в первом автомате», через  - «кофе закончился во втором автомате». Учитывая, что , то события  и  являются зависимыми и в то же время совместными (т.к. кофе может закончиться в обоих автоматах). Событие  трактуется как «кофе закончился хотя бы в одном автомате». Вероятность этого события равна

.

Переходя к противоположному событию  «кофе остался в обоих автоматах», находим его вероятность по формуле

.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.
Темы раздела