Самообразование
Главная > Математика > Подготовка к ЕГЭ по теории вероятностей

Решение простых задач по теории вероятностей

В природе существуют явления, которые кажутся случайными, или которые удобно представлять как случайные для решения различных практических задач. Например, при бросании монеты, наперед невозможно предугадать какая сторона выпадет: «орел» или «решка». При бросании игрального кубика (игральной кости) также невозможно заранее определить какое число выпадет и т. д. Явления (события), появление которых невозможно или сложно определить заранее, называются случайными. Таким образом, случайным называют событие, которое может произойти или не произойти во время наблюдения или испытания.

Случайные события в теории вероятностей принято обозначать большими буквами латинского алфавита:  и т. д. Например, под буквой  можно определить событие, связанное с появлением «орла» при бросании монетки, или вытягивание выученного экзаменационного билета, или выигрыш гроссмейстера Б. у гроссмейстера А., и т.п.

Целью решения задач по теории вероятностей, как правило, является вычисление вероятности появления того или иного случайного события, определенного условием задачи. Классическое определение вероятности звучит так. Вероятностью события  называется отношение числа благоприятных для этого события исходов (там где оно произошло) к общему числу равновозможных исходов.

Свяжем событие  с появлением «орла» при бросании монетки. Тогда, в соответствии с приведенным определением вероятности, имеем: число благоприятных исходов  события  равно 1, всего равновозможных исходов  равно 2 (может выпасть либо «орел», либо «решка»). Таким образом, вероятность события , обозначаемая , равна

,

и в данном случае .

Немного сложнее выглядит пример подсчета вероятности события , связанного с появлением грани игрального кубика с числом больше 2, т.е. с числами 3, 4, 5 и 6. В этом случае, событию  благоприятны четыре события (появление граней 3, 4, 5 и 6) из шести равновозможных (всего у игрального кубика 6 граней). Следовательно, вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет грань с числом больше 2, равна

.

Вероятность любого события находится в диапазоне от 0 до 1. Если вероятность события равна 0, это означает, что оно никогда не происходит в эксперименте. Если же вероятность события равна 1, то оно появляется во всех исходах эксперимента. Поэтому, если при решении задач вероятность оказывается за пределами диапазона значений [0;1], значит допущена ошибка и решение следует перепроверить.

В некоторых задачах по теории вероятностей удобно переходить к противоположным событиям. Например, событие  выпало четное число, противоположно событию  выпало нечетное число. То есть, два события  и  называют противоположными друг другу, если одно из них обязательно происходит и любой исход эксперимента благоприятен только для одного из них. По существу, это означает, что событие  и его противоположное событие, обозначаемое как , охватывают все возможные исходы эксперимента. Из этого определения следует, что вероятность  события  связана с вероятностью  противоположного события  соотношением:

,

откуда следует, что

.

Темы раздела