ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Вариант 9. Задание 19. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 19. Имеется несколько двухзначных натуральных чисел, не обязательно различных. Известно, что сумма этих чисел равна 396. Затем эти же числа записали наоборот (например, было 23, стало 32).

а) Может ли сумма чисел, записанных наоборот, быть в 4 раза больше исходной суммы чисел?

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение.

а) Исходные двухзначные числа можно записать в виде

и пусть

В этих обозначениях сумма исходных чисел, равна , а записанных наоборот , которая должна равняться . Получаем систему:

Умножим первое уравнение на 10 и вычтем из него второе, получим:

И, подставляя это значение во второе уравнение, имеем:

Следовательно, можно взять 18 чисел, например, семнадцать 19 и последнее 73. Проверяем:

Все верно.

б) Аналогичными рассуждениями, получаем:

Значит, можно взять, например, 11 чисел: десять 37 и последнее 26. Проверяем:

Все верно.

в) Требуется определить, для какого наибольшего S имеет натуральные решения следующая система уравнений:

Выразим отсюда S, умножив первое уравнение на 10 и вычитая второе:

Число A – это сумма натуральных цифр, значит оно натуральное. Нужно найти такое наименьшее A, при котором , где n – количество двухзначных цифр. Так как минимальная сумма A получается при сложении единиц, то A=n, а , получаем:

то есть, наименьшее целое n=21 и максимальная сумма

Ответ: а) да; б) да; в) 1881.


Другие задания:

Темы раздела