ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Вариант 9. Задание 14. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 14. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E – середина ребра A1D1, а точка F лежит на ребре BC так, что BF=2FC. Через вершину A, точки E и F проведена плоскость. Найдите величину двугранного угла между плоскостью AEF и плоскостью ABCD.

Решение.

1. Поместим куб в систему координат так как показано на рисунке.

2. Пусть длина ребра куба равна 1. Тогда имеем такие координаты точек:

3. Искомый угол найдем как угол между нормалями для плоскостей AEF и ABC. Для плоскости ABC за нормаль возьмем единичный вектор на оси Oz, то есть, вектор . Для плоскости AEF нормаль обозначим как , причем . Отрезки , следовательно, должны выполняться равенства:

Умножим первое уравнение на 2, а второе – на 3, получим:

Пусть , тогда , получаем нормаль .

4. Обозначим искомый угол через ω, тогда для него можно записать

где  - длина вектора m;  - длина вектора n. Произведение этих двух векторов, равно:

.

Подставляем все эти величины в формулу косинуса угла ω, получим:

и угол

Ответ:

Другие задания:

Темы раздела