ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Вариант 8. Задание 16. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 16. В параллелограмм со сторонами 17 и 10 проведены биссектрисы внутренних углов. Найдите длины диагоналей четырехугольника, образованного в пересечении биссектрис.

Решение.

Так как , то , значит,  (так как AE и BP – биссектрисы соответствующих углов), а угол . То есть, . Аналогично можно показать, что и . Следовательно, четырехугольник KLMN – прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, значит, KM=LN.

Рассмотрим треугольник ABP, в котором AK – биссектриса и высота. Значит, треугольник ABP равнобедренный с AB=AP, а точка K делит BP пополам (то есть AK – медиана). Аналогично точка M – середина QD. Рассмотрим прямую KM. Она делит отрезки BP и QD пополам. Но и средняя линия параллелограмма проходит через точки K и M. Значит, отрезок KM лежит на средней линии и . Также можно заметить, что , следовательно, четырехугольник KMDP – параллелограмм с

Ответ: 7.

Другие задания:

Темы раздела