Задание 14. Ребра AB и AD основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 9 и 4. На боковых ребрах AA1 и BB1, равных 11, лежат точки M и P соответственно так, что AM : MA1 = 3:4, а B1P : PB = 8:3. Найдите объем пирамиды с вершиной в точке P, основанием которой является сечение плоскостью BMD1.
Решение.
1. Так как ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный
параллелепипед, то его противоположные грани параллельны. Следовательно,
плоскость, проходящая через точки B, M и D1 (плоскость BMD1) пересекает
грань BB1C1C по отрезку BM1, а грань DD1C1C – по отрезку D1M1. Причем, 
. Отсюда получаем, что
треугольники CBM1 и A1D1M равны как
прямоугольные по катету и острому углу, а сечение MD1M1B – параллелограмм.
Получаем пирамиду с вершиной в точке P, в основании которой лежит
параллелограмм MD1M1B.
2. Проведем диагональ BD1 в параллелограмме BMD1M1. Эта диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника. Поэтому можно записать, что
и, следовательно,
Рассмотрим пирамиду PMD1B таким образом, чтобы ее основанием был треугольник PBM, а вершина лежала в точке D1. Тогда ее объем можно найти как
Высота h, проведенная из вершины D1, образует отрезок D1A1=DA=4. То есть, h=4.
Теперь рассмотрим треугольник PBM. Если провести высоту H из точки M, то она будет равна длине AB, то есть, H=AB=9. По условию задания B1P:PB = 8:3, значит, можно записать отношение:
По заданию B1B=11, получаем, что
Таким образом,
и
Ответ: 36.
Другие задания: