ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Вариант 6. Задание 19. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 19. Пусть имеются два натуральных числа, связанных между собой выражением , и пусть q – их наименьшее общее кратное, а d – их наибольший общий делитель.

а) Может ли  быть равен 120?

б) Может ли  быть равен 15?

в) Найдите наименьшее значение .

Решение.

Представим числа x и y в виде произведений , где a, b – взаимно простые числа (иначе d не будет наибольшим общим делителем). Кроме того, из формулы  следует, что наименьшее x=6, при котором имеем целое . Наименьшее общее кратное можно записать в виде  или так:

а) Чтобы  число 104 должно представляться в виде произведения двух взаимно простых чисел a и b. Получаем вариант a=13, b=8, d=1, тогда x=13, y=8 и эти числа удовлетворяет равенству .

б)-в) Равенство  выполняется при наименьших x=6, y=5 (см. начало решения), следовательно, минимальное значение (при a=6, b=5, d=1)

Ответ: а) да; б) нет; в) 30.

Другие задания:

Темы раздела