Задание 16. Через точку A проведены две
прямые: одна из них касается окружности в точке B, другая
пересекает эту окружность в точках C и D так, что D лежит на
отрезке AC. Отрезки BC=4, BD=3, а 
. Найдите
а) длины отрезков AB и CD;
б) радиус окружности.
Решение.
а) Нарисуем чертеж. Введем
обозначения: 
.
Тогда угол 
по
свойству угла между касательной и хордой. Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны друг
другу по двум углам.
Для подобных треугольников можно записать следующее отношение:
и
Рассмотрим треугольник ABC, в котором найдем сторону AB, используя теорему косинусов:
По свойству касательной и секущей можно записать равенство:
Значит, 
. Далее,
б) Найдем радиус R окружности, используя теорему синусов:
Рассмотрим треугольник ABD, и запишем теорему синусов следующим образом:
Так как 
по условию задания, то
,
тогда
и
Ответ: а) 
; б) 
Другие задания: