ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Вариант 5. Задание 16. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 16. Через точку A проведены две прямые: одна из них касается окружности в точке B, другая пересекает эту окружность в точках C и D так, что D лежит на отрезке AC. Отрезки BC=4, BD=3, а . Найдите

а) длины отрезков AB и CD;

б) радиус окружности.

Решение.

а) Нарисуем чертеж. Введем обозначения: . Тогда угол  по свойству угла между касательной и хордой. Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны друг другу по двум углам.

Для подобных треугольников можно записать следующее отношение:

и

Рассмотрим треугольник ABC, в котором найдем сторону AB, используя теорему косинусов:

По свойству касательной и секущей можно записать равенство:

Значит, . Далее,

б) Найдем радиус R окружности, используя теорему синусов:

Рассмотрим треугольник ABD, и запишем теорему синусов следующим образом:

Так как  по условию задания, то

,

тогда

и

Ответ: а) ; б)

Другие задания:

Темы раздела