ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Вариант 4. Задание 14. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 14. В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера. Боковое ребро пирамиды , а диагональ основания 6. Найдите площадь поверхности сферы.

Решение.

1. Сделаем рисунок. Здесь OM=OL=R – радиусы сферы. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Диагонали этого квадрата AC=BD=6, а стороны

2. Найдем длину SK по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SBK, в котором гипотенуза , а катет :

Найдем высоту SM из прямоугольного треугольника ASM, в котором известен катет AM=AC:2=6:2=3 и гипотенуза . Тогда по теореме Пифагора, имеем:

Обозначим через R радиус вписанной сферы, тогда

3. Рассмотрим два треугольники SMK и SOL, которые подобны по двум углам (, а угол MSK – общий). Для подобных треугольников можно записать отношение:

откуда

И площадь поверхности сферы

Ответ:


Другие задания:

Темы раздела