ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Вариант 3. Задание 19. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 19. Пусть имеются два натуральных числа, связанных между собой выражением , и пусть q – их наименьшее общее кратное, а d – их наибольший общий делитель.

а) Может ли  быть равен 110?

б) Может ли  быть равен 3?

в) Найдите наименьшее значение .

Решение.

Представим числа x и y в виде произведений , где a, b – взаимно простые числа (иначе d не будет наибольшим общим делителем). Кроме того, из формулы  следует, что при x=1, имеем . Наименьшее общее кратное можно записать в виде  или так:

а) Чтобы  число 110 должно представляться в виде произведения двух взаимно простых чисел a и b. Получаем вариант a=10, b=11, d=1, тогда x=10, y=11. Но эти числа не удовлетворяет равенству . Можно заметить, что остальные варианты (например, a=11, b=20, d=2) будут только отдаляться от этого равенства.

б)-в) Равенство  выполняется при наименьших x=1, y=4 (см. начало решения), следовательно, минимальное значение (при a=1, b=4, d=1)

Простым перебором можно убедиться, что при  и a=1, b=2, d=1 имеем x=1, y=2 выражение  не выполняется. Аналогично и при x=1, y=3.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Другие задания:

Темы раздела