ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Вариант 3. Задание 16. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 16. В равнобедренную трапецию вписана окружность.

а) Докажите, что диаметр окружности есть среднее пропорциональное ее оснований.

б) Найдите острый угол трапеции, если основания равны 3 и 15.

Решение.

а) Нарисуем чертеж и введем прямоугольную систему координат так, чтобы ось симметрии равнобедренной трапеции совпадала с осью Oy.

Пусть , тогда

По условию задания в трапецию можно вписать окружность, значит, суммы ее противоположных сторон равны:

и так как трапеция равнобедренная и AD=CB, получаем:

      (1)

Рассмотрим прямоугольный треугольник CMB (так как ), следовательно, по теореме Пифагора

и, учитывая, (1), имеем:

Так как d – это диаметр окружности, а  - основания трапеции, то положение доказано.

б) Учитывая, что , а , получаем:

а

Рассмотрим прямоугольный треугольник CMB и вычислим тангенс угла CBM:

Подставляем числовые значения, получаем:

и

Ответ:

Другие задания:

Темы раздела