ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Вариант 3. Задание 14. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 14. Правильная шестиугольная пирамида вписана в сферу. Боковое ребро пирамиды 4, а радиус вписанной в основание окружности, равен √3. Найдите площадь поверхности сферы.

Решение.

Нарисуем чертеж. На нем SM – это диаметр сферы. Сначала найдем этот диаметр.

Так как шестиугольная пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный шестиугольник. По условию задания в этот шестиугольник вписана окружность с радиусом √3.

Этот шестиугольник можно разбить на 6 правильных треугольников и рассмотрим один такой треугольник AO1F, в котором O1N=√3. Так как все углы в равностороннем треугольнике 60°, то угол O1AF равен 60°. Тогда можно записать, что

откуда

Рассмотрим прямоугольный треугольник ASO1, в котором известна гипотенуза AS=4 и катет AO1=2. По теореме Пифагора найдем второй катет SO1:

Теперь рассмотрим треугольник ASM, в котором угол SAM равен 90°, так как он является вписанным и опирается на диаметр окружности. Для такого прямоугольного треугольника можно записать равенство:

откуда

и радиус сферы, равен:

Площадь поверхности сферы можно найти по формуле

Ответ:


Другие задания:

Темы раздела