ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Вариант 1. Задание 19. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 19. Арифметическая прогрессия составлена из n различных натуральных чисел, причем .

а) Возможно ли, чтобы сумма всех n членов этой прогрессии была бы равна 18?

б) Определите наибольшее число членов арифметической прогрессии, если сумма всех ее чисел меньше 850.

в) Определите все возможные значения n, если сумма всех чисел данной прогрессии равна 235.

Решение.

а) Арифметическая прогрессия определяется выражением , где d – разность прогрессии. Пусть d=3, а первый член равен , тогда получим три таких члена прогрессии:

3, 6, 9

которые в сумме дают 18.

б) Сумму S всех первых n членов арифметической прогрессии можно определить по формуле

          (1)

из которой видно, что наименьшее значение суммы достигается при d=1 (так как наименьшая разность между двумя различными натуральными числами равна 1),  (так как наименьшее натуральное число есть 1). Подставляет это в формулу, имеем, что

Так как S < 850, то получаем неравенство:

откуда

Здесь можно простым подбором найти наибольшее n, при котором выполняется последнее неравенство. Это значение будет равно 40, так как , а следующее значение 41 уже дает превышение значения 1700.

в) Используя формулу (1) для S=235 можно записать равенство:

Здесь число 47 – простое, то есть, оно не раскладывается на более мелкие множители, следовательно, чтобы левая часть равенства была равна 470, необходимо, чтобы множитель n был делителем 10. Так как n – натуральное число, то имеем следующие возможные значения (для n>2): 5 и 10. Значение n=47 не подойдет, т.к. в п б. показано, что при n=40 минимальная сумма равна 1640, что больше 235. Проверим, подойдут ли числа 5 и 10. При n=5, получаем:

Можно ли подобрать такие целые , чтобы выполнялось равенство? Да, можно, это числа d=1 и .

Теперь проверим значение n=10:

подходит при d=1 и .

Ответ: а) да; б) 40; в) 5 и 10.

Другие задания:

Темы раздела