ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Вариант 1. Задание 16. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 16. В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и прямая CF, перпендикулярная биссектрисе AD и пересекающая ее в точке T, а сторону AB в точке E так, что DT=1, угол ACF=50° и угол ABC=20°.

а) Найдите углы в треугольнике ABC.

б) Найдите длину отрезка CF.

Решение.

а) Изобразим треугольник ABC на рисунке. И рассмотрим треугольник ACF, который будет равнобедренный со сторонами AC=AF и основанием CF. (Равнобедренность этого треугольника вытекает из того факта, что в нем биссектриса AT совпадает с высотой).

Учитывая, что углы в равнобедренном треугольнике при основании равны, то . Значит, угол

а угол

Получаем равные углы при основании AC, значит, треугольник ACB равнобедренный со сторонами AB=BC.

б) Угол . Рассмотрим прямоугольный треугольник DCT, в котором катет DT лежит напротив угла в 30°, значит, он в 2 раза меньше гипотенузы CD: , откуда . Найдем длину СT по теореме Пифагора:

Так как треугольник ACF равнобедренный с основанием CF, то биссектриса AT является также и медианой, то есть,

Ответ: а) 20°; 80°; 80°; б)


Другие задания:

Темы раздела