Задание 14. Вокруг правильной треугольной пирамиды, с длиной стороны основания 6 и высотой 8, описан шар. Найдите объем этого шара.
Решение.
Изобразим все данные на чертеже. Как известно, объем шара можно найти по формуле
,
где R – радиус шара. Сначала найдем диаметр шара – длину отрезка SM.
Рассмотрим треугольник ASM с прямым углом MAS, так как это вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности. Из прямого угла A опущена высота AO к стороне SM. Длину этой высоты можно найти из формулы
,
где a=6 – длина стороны равностороннего треугольника ABC. Получаем:
Изобразим треугольник ASM в плоскости.
Из планиметрии известно, высота AO связана с отрезками SO и SM выражением:
,
откуда
и диаметр SM, равен:
Так как радиус в 2 раза меньше диаметра,
то 
и объем
шара:
Ответ: 
.
Другие задания: