ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Вариант 10. Задание 16. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 16. В прямоугольнике ABCD сторона AB меньше стороны BC в 3 раза. Внутри прямоугольника имеется точка P такая, что BP=√17, CP=√2, DP=1. Найдите:

а) площадь прямоугольника ABCD;

б) косинус угла PCD.

Решение.

а) Задачу будем решать методом координат. Выберем систему координат так, что . Пусть точка P имеет координаты , а . Тогда

Согласно условию задания можно составить следующие три равенства относительно x, y, a:

Преобразуем их, получим:

Первые два уравнения подставляем в третье, получаем:

Сделаем замену , имеем:

Обратная подстановка дает два уравнения:

Здесь отрицательное значение не подходит, т.к. все координаты находятся в положительной области.

При этом значении a координата y=0, что противоречит условию задания (точка P должна быть внутри прямоугольника, а не на его границе).

Остается одно значение . Тогда

Это и есть координаты точки P (используется в п. б). Соответственно,

и

б) Найдем косинус угла PCD, используя формулу скалярного произведения векторов:

откуда

Координаты векторов , а их скалярное произведение:

Длины векторов

Получаем:

Ответ: а) ; б)

Другие задания:

Темы раздела