ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Вариант 10. Задание 14. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 14. В основании треугольной пирамиды PABC лежит правильный треугольник ABC со сторонами 1. Ребро PA перпендикулярно плоскости основания и равно √3. Плоскость α параллельна прямым PC и AB, а плоскость β параллельна прямым PB и AC. Найдите угол между плоскостями α и β.

Решение.

1. В основании треугольной пирамиды проведена медиана BM, которая также является и высотой треугольника ABC. Также сделаны дополнительные построения: отрезок  и отрезок  так, что плоскость , а плоскость .

2. Пусть нормаль к плоскости β будет , а нормаль к плоскости α будет . Координаты точек

тогда

Нормаль , а нормаль . Отсюда получаем такие системы уравнений:

 и

или в виде:

 и

Пусть , получим:

3. Обозначим искомый угол через ω. Тогда для него можно записать:

,

где  - длина вектора m;  - длина вектора n. Произведение этих двух векторов, равно:

.

Подставляем все эти величины в формулу косинуса угла ω, получим:

и угол

Ответ:

Другие задания:

Темы раздела